確率ロボティクス第4回: 連続値と多変量（その1）

千葉工業大学 上田 隆一

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今回の内容

• 連続値に対する確率分布の定義方法
• 多変量の確率分布

教科書では数学的なあれこれがちょっとだけ書いてありますが、講義では実用面から考えましょう。

ある実験

• ある位置から何度もロボットを4m前進させ、実際に到達した位置と向きの統計をとった
• 知りたいこと: ロボットの到達した座標の分布は？
  • 右の図のような分布の図を描きたい
    

困ること

• 困ること1: が「連続的」
  • 統計をとっても点になるから前ページのようなグラフが描けない
• 困ること2: 確率変数が3つもある
  • こういうことは前回もあったが、分布の形については扱っていない

連続的・多変量の確率変数の扱い

• ひとつずつ対処の方法を見ていきましょう
  • 離散値に近似して確率分布を求める方法
  • 空間を囲って確率を計算する方法
  • 密度・確率密度関数の導入

離散値への近似

• 実数を離散値に対応づけると点状のデータから確率分布が描ける
• 離散化や量子化などと呼ばれる
• 方法
  • 実数をどこかの桁で四捨五入
  • 実数を範囲ごとに区切る
• 例: 最初の例のの値（単位はdegree）
  • -9.5, -9.5, -4.6, -4.0, -0.3, 4.1, 6.2, 9.0, 11.1, 18.2, 18.3, 19.3, 19.9, 19.9, 21.1, 21.8, 22.5, 23.9, 24.3, 24.7

離散値への近似（多次元の場合）

• 2次元の場合: 平面を区画化してデータの数を数えて分布に
  • 右図: 最初の例の座標についてこの作業をしたもの
• より高い次元
  • 3次元空間、4次元空間・・・を同様に区画化
  • 4次元以上は想像しにくいので、リストや数式で考えたほうがいいかもしれない
    • 例: 4軸の区画の組み合わせに対し確率を計算するなど

離散値への近似（注意する点・問題点）

• データの数や利用用途に応じて適切な解像度が必要
  • 右図のように分布が元のデータやデータの性質を表さない恐れ
• 多次元になるほどデータが不足
  • 1次元でデータが必要なら次元だと必要
  • データが足りない場合、データの背景、原因を考えたほうがよりよい分布を作れるかもしれない

空間を囲って確率を計算する方法
（モンテカルロ法）

• あらかじめ離散化の方法を決めなくても、
  データから確率は計算可能
  • 例（右図）
    • など
• 分布は作れないが、間接的に確率を計算可能
  • たとえばロボットが左にヨレやすいことを数値化できる

モンテカルロ法

• 前ページの方法を使う計算方法
• 用途（けっこう重要）
  • 数値計算による積分（モンテカルロ積分）
  • 移動ロボットの自己位置推定
    （Monte Carlo localization [Fox1999]、[Dellaert1999]）
• 数値計算の例（右図）
  • 矢をランダム（一様分布）で板に刺す
  • 円周率

囲う方法の問題点

• 問題: これもデータ数が不足する場合があり
  • となってしまうがおそらくそうではない
    • 単にデータの数が少ない
  • これも特に次元が大きい場合に問題となる
    • Monte Carlo localizationが、そのままだとドローンの自己位置推定に使いずらいなど

密度の導入

連続的な確率変数に対する「確率」

• 先述の2つの方法における確率: 区画や囲った範囲に与えられる
  • 区画中の1点（=本来の確率変数）に対する確率ではない
    • などの「点」の確率はゼロ
• 点に対応する量はないのか？
  • それがないと分布の定義が大変難しい

密度の導入

• こう考える: 確率を範囲の幅で割った値を確率変数に割り当て
• 例: に対し、次の値を割り当て
  • 確率/区間の幅
• この値を密度と言う
  • 「確率質量関数」というように、確率分布を質量の何かと考える
    質量を連続値で割ると「密度」

確率密度関数

• 連続的な確率変数に密度が導入できたので、
  右図上のような関数が定義可能に
  確率密度関数
• 確率密度関数の性質
  • 縦軸が密度=横軸を積分すると確率に
    • 右図下:
• その他重要事項
  • やの形も「確率分布」と呼ばれる

多次元の確率密度関数

• 2次元の場合: 確率を「面積」で割ったものが密度
  • 2重積分で確率に
  • 右図: かつ
    
• 3次元の場合: 確率を「体積」で割ったものが密度
  • 3重積分で確率に
• n次元の場合: n重積分で確率に
• ルベーグ積分での（的な）表記
  • • : 空間のある領域（右図の: 2次元の例）

確率密度関数と周辺化

• （離散的な場合が足し算で消せるのと同じで）積分で変数を消せる
  • （右図下）
  • （右図右）
• 補足
  • そもそもこの図では最初の実験のを省略しているので、もとから周辺化されている

ここまでのまとめ

• 連続的な確率変数、多次元の確率変数を扱った
  • データが空間中の点でとれる
  • データから確率分布を作るときに様々な近似法
• 密度の導入
  • 連続、多次元な確率変数（ベクトル）に対し定義
  • 確率密度関数が考えられるように
  • 積分すると確率に
• 次に考えるべきこと
  • 今まではデータで分布を作るという乱暴なことをしてきた
    • 特に多次元だとデータが足りなくなる
  • が数式で定義できるようになったので、別の方法を考えましょう